Μια εξίσωση ονομάζεται μαθηματική ισότητα που υπάρχει μεταξύ δύο εκφράσεων, η οποία αποτελείται από διαφορετικά στοιχεία τόσο γνωστά (δεδομένα) όσο και άγνωστα (άγνωστα), τα οποία σχετίζονται μέσω μαθηματικών αριθμητικών πράξεων. Τα δεδομένα γενικά αντιπροσωπεύονται από συντελεστές, μεταβλητές, αριθμούς και σταθερές, ενώ τα άγνωστα υποδεικνύονται με γράμματα και αντιπροσωπεύουν την τιμή που θέλετε να αποκρυπτογραφήσετε μέσω της εξίσωσης. Οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται ευρέως, κυρίως για να δείξουν τις πιο ακριβείς μορφές μαθηματικών ή φυσικών νόμων, οι οποίοι εκφράζουν μεταβλητές.
Τι είναι η εξίσωση
Πίνακας περιεχομένων
Ο όρος προέρχεται από το λατινικό "aequatio", του οποίου η έννοια αναφέρεται στην εξίσωση. Αυτή η άσκηση είναι μια μαθηματική ισότητα που υπάρχει μεταξύ δύο εκφράσεων, αυτές είναι γνωστές ως μέλη αλλά χωρίζονται με ένα σύμβολο (=), σε αυτά, υπάρχουν γνωστά στοιχεία και ορισμένα δεδομένα ή άγνωστα που σχετίζονται μέσω μαθηματικών πράξεων. Οι τιμές είναι αριθμοί, σταθερές ή συντελεστές, αν και μπορούν επίσης να είναι αντικείμενα όπως διανύσματα ή μεταβλητές.
Τα στοιχεία ή τα άγνωστα προσδιορίζονται μέσω άλλων εξισώσεων, αλλά με μια διαδικασία επίλυσης εξισώσεων. Ένα σύστημα εξισώσεων μελετάται και επιλύεται με διαφορετικές μεθόδους, στην πραγματικότητα, το ίδιο συμβαίνει με την εξίσωση της περιφέρειας.
Ιστορικό εξισώσεων
Ο αιγυπτιακός πολιτισμός ήταν ένας από τους πρώτους που χρησιμοποίησε μαθηματικά δεδομένα, επειδή από τον 16ο αιώνα έχουν ήδη εφαρμόσει αυτό το σύστημα, για την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με τη διανομή τροφίμων, αν και δεν ονομάστηκαν εξισώσεις, θα μπορούσε να ειπωθεί ότι είναι ισοδύναμο με την τρέχουσα εποχή.
Οι Κινέζοι είχαν επίσης γνώση τέτοιων μαθηματικών λύσεων, γιατί στην αρχή της εποχής έγραψαν ένα βιβλίο όπου προτάθηκαν διάφορες μέθοδοι για την επίλυση ασκήσεων δεύτερης και πρώτης τάξης.
Κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα, οι μαθηματικοί άγνωστοι είχαν μεγάλη ώθηση, καθώς χρησιμοποιήθηκαν ως δημόσιες προκλήσεις μεταξύ των ειδικών μαθηματικών της εποχής. Τον δέκατο έκτο αιώνα, δύο σημαντικοί μαθηματικοί ανακάλυψαν τη χρήση φανταστικών αριθμών για την επίλυση δεδομένων δεύτερου, τρίτου και τέταρτου βαθμού.
Επίσης σε αυτόν τον αιώνα ο Rene Descartes έκανε τη διάσημη επιστημονική σημειογραφία, εκτός από αυτό, σε αυτό το ιστορικό στάδιο ένα από τα πιο δημοφιλή θεωρήματα στα μαθηματικά δημοσιοποιήθηκε επίσης "το τελευταίο θεώρημα του Fermat".
Κατά τον δέκατο έβδομο αιώνα, οι επιστήμονες Gottfried Leibniz και Isaac Newton κατέστησαν δυνατή τη λύση των διαφορών άγνωστων, που οδήγησαν σε μια σειρά ανακαλύψεων που συνέβησαν εκείνη την εποχή σχετικά με αυτές τις συγκεκριμένες εξισώσεις.
Πολλές ήταν οι προσπάθειες που έκαναν οι μαθηματικοί μέχρι τις αρχές του 19ου αιώνα για να βρουν τη λύση στις εξισώσεις του πέμπτου βαθμού, αλλά όλες ήταν αποτυχημένες προσπάθειες, έως ότου ο Niels Henrik Abel ανακάλυψε ότι δεν υπάρχει γενικός τύπος για τον υπολογισμό του πέμπτου βαθμού, επίσης Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου η φυσική χρησιμοποίησε διαφορικά δεδομένα σε ακέραια και παράγωγα άγνωστα, τα οποία οδήγησαν στη μαθηματική φυσική.
Τον 20ο αιώνα, διαμορφώθηκαν οι πρώτες διαφορικές εξισώσεις με πολύπλοκες συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται στην κβαντομηχανική, οι οποίες έχουν ένα ευρύ πεδίο σπουδών στην οικονομική θεωρία.
Θα πρέπει επίσης να γίνει αναφορά στην εξίσωση Dirac, η οποία αποτελεί μέρος των μελετών σχετικιστικών κυμάτων στην κβαντική μηχανική και διατυπώθηκε το 1928 από τον Paul Dirac. Η εξίσωση Dirac συνάδει πλήρως με την ειδική θεωρία της σχετικότητας.
Χαρακτηριστικά εξίσωσης
Αυτές οι ασκήσεις έχουν επίσης μια σειρά από ειδικά χαρακτηριστικά ή στοιχεία, μεταξύ των οποίων, τα μέλη, τους όρους, τα άγνωστα και τις λύσεις. Τα μέλη είναι εκείνες οι εκφράσεις που βρίσκονται ακριβώς δίπλα στα σύμβολα ίσων. Οι όροι είναι εκείνες οι προσθήκες που αποτελούν μέρος των μελών, επίσης, τα άγνωστα αναφέρονται στα γράμματα και τέλος οι λύσεις, οι οποίες αναφέρονται στις τιμές που επαληθεύουν την ισότητα.
Τύποι εξισώσεων
Υπάρχουν διαφορετικοί τύποι μαθηματικών ασκήσεων που έχουν διδαχθεί σε διαφορετικά επίπεδα εκπαίδευσης, για παράδειγμα, η εξίσωση της γραμμής, η χημική εξίσωση, η εξισορρόπηση των εξισώσεων ή τα διαφορετικά συστήματα εξισώσεων, ωστόσο, είναι σημαντικό να αναφέρουμε ότι αυτές ταξινομούνται σε αλγεβρικά δεδομένα, τα οποία με τη σειρά τους μπορεί να είναι του πρώτου, του δεύτερου και του τρίτου βαθμού, διοφαντανικά και λογικά.
Αλγεβρικές εξισώσεις
Είναι μια εκτίμηση που εκφράζεται με τη μορφή P (x) = 0 στην οποία το P (x) είναι ένα πολυώνυμο που δεν είναι μηδενικό αλλά δεν είναι σταθερό και έχει ακέραιους συντελεστές με βαθμό n ≥ 2.
- Γραμμικό: είναι μια ισότητα που έχει μία ή περισσότερες μεταβλητές στην πρώτη ισχύ και δεν χρειάζεται προϊόντα μεταξύ αυτών των μεταβλητών.
- Τετραγωνικό: έχει έκφραση ax² + bx + c = 0 με ≠ 0. εδώ η μεταβλητή είναι x, ya, b και c είναι σταθερές, ο τετραγωνικός συντελεστής είναι a, ο οποίος διαφέρει από το 0. Ο γραμμικός συντελεστής είναι b και ο όρος ανεξάρτητη είναι γ.
Χαρακτηρίζεται από το ότι είναι ένα πολυώνυμο που ερμηνεύεται μέσω της εξίσωσης της παραβολής.
- Κυβικά: κυβικά δεδομένα που έχουν άγνωστο αντικατοπτρίζονται στον τρίτο βαθμό με a, b, c και d (a ≠ 0), των οποίων οι αριθμοί αποτελούν μέρος ενός σώματος πραγματικών ή πολύπλοκων αριθμών, ωστόσο, αναφέρονται επίσης σε λογικά ψηφία.
- Biquadratic: Πρόκειται για μια μοναδική μεταβλητή, αλγεβρική έκφραση τέταρτου βαθμού που έχει μόνο τρεις όρους: έναν από τον βαθμό 4, έναν από τον βαθμό 2 και έναν ανεξάρτητο όρο. Ένα παράδειγμα άσκησης biquad είναι το ακόλουθο: 3x ^ 4 - 5x ^ 2 + 1 = 0.
Λαμβάνει αυτό το όνομα επειδή προσπαθεί να εκφράσει ποια θα είναι η βασική ιδέα για να οριοθετήσει μια στρατηγική επίλυσης: bi-square σημαίνει: "δύο φορές τετραγωνικό." Εάν το σκεφτείτε, ο όρος x4 μπορεί να εκφραστεί ως (x 2) ανυψωμένος στο 2, ο οποίος μας δίνει x4. Με άλλα λόγια, φανταστείτε ότι ο κύριος όρος του άγνωστου είναι 3 × 4. Ομοίως, είναι σωστό να πούμε ότι αυτός ο όρος μπορεί επίσης να γραφτεί ως 3 (x2) 2.
- Διοπαντίνες: είναι μια αλγεβρική άσκηση που έχει δύο ή περισσότερα άγνωστα, επιπλέον, οι συντελεστές του περιλαμβάνουν όλους τους ακέραιους αριθμούς των οποίων πρέπει να αναζητηθούν οι φυσικές ή ακέραιες λύσεις. Αυτό τους καθιστά μέρος ολόκληρης της ομάδας αριθμών.
Αυτές οι ασκήσεις παρουσιάζονται ως ax + by = c με την ιδιότητα μιας επαρκούς και απαραίτητης κατάστασης έτσι ώστε ax + by = c με a, b, c που ανήκουν στους ακέραιους, να έχουν μια λύση.
- Ορθολογική: ορίζονται ως το πηλίκο των πολυωνύμων, τα ίδια στα οποία ο παρονομαστής έχει τουλάχιστον 1 βαθμό. Μιλώντας συγκεκριμένα, πρέπει να υπάρχει ακόμη και μία μεταβλητή στον παρονομαστή. Η γενική μορφή που αντιπροσωπεύει μια λογική συνάρτηση είναι:
Στα οποία τα p (x) και q (x) είναι πολυώνυμα και q (x) ≠ 0.
- Ισοδύναμα: είναι μια άσκηση με μαθηματική ισότητα μεταξύ δύο μαθηματικών εκφράσεων, που ονομάζονται μέλη, στην οποία εμφανίζονται γνωστά στοιχεία ή δεδομένα, και άγνωστα στοιχεία ή άγνωστα, που σχετίζονται με μαθηματικές πράξεις. Οι τιμές της εξίσωσης πρέπει να αποτελούνται από αριθμούς, συντελεστές ή σταθερές. Όπως μεταβλητές ή σύνθετα αντικείμενα όπως διανύσματα ή συναρτήσεις, νέα στοιχεία πρέπει να αποτελούνται από άλλες εξισώσεις ενός συστήματος ή κάποια άλλη διαδικασία για την επίλυση συναρτήσεων.
Υπερβατικές εξισώσεις
Δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια ισότητα μεταξύ δύο μαθηματικών εκφράσεων που έχουν ένα ή περισσότερα άγνωστα που σχετίζονται μέσω μαθηματικών πράξεων, οι οποίες είναι αποκλειστικά αλγεβρικές και έχουν μια λύση που δεν μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας τα ειδικά ή κατάλληλα εργαλεία της άλγεβρας. Μια άσκηση H (x) = j (x) ονομάζεται υπερβατική όταν μία από τις συναρτήσεις H (x) ή j (x) δεν είναι αλγεβρική.
Διαφορικές εξισώσεις
Σε αυτά, οι συναρτήσεις σχετίζονται με καθένα από τα παράγωγά τους. Οι συναρτήσεις τείνουν να αντιπροσωπεύουν ορισμένες φυσικές ποσότητες, από την άλλη πλευρά, τα παράγωγα αντιπροσωπεύουν ρυθμούς μεταβολής, ενώ η εξίσωση καθορίζει τη σχέση μεταξύ τους. Τα τελευταία έχουν μεγάλη σημασία σε πολλούς άλλους κλάδους, όπως η χημεία, η βιολογία, η φυσική, η μηχανική και τα οικονομικά.
Ολοκληρωμένες εξισώσεις
Το άγνωστο στις συναρτήσεις αυτών των δεδομένων εμφανίζεται απευθείας στο αναπόσπαστο μέρος. Οι ολοκληρωμένες και διαφορικές ασκήσεις έχουν πολλή σχέση, ακόμη και ορισμένα μαθηματικά προβλήματα μπορούν να διατυπωθούν με οποιοδήποτε από αυτά τα δύο, ένα παράδειγμα αυτού είναι το μοντέλο ιξωδοελαστικότητας Maxwell.
Λειτουργικές εξισώσεις
Εκφράζεται μέσω του συνδυασμού άγνωστων συναρτήσεων και ανεξάρτητων μεταβλητών, επιπλέον, τόσο η αξία όσο και η έκφρασή του πρέπει να λυθούν.
Κατάσταση εξισώσεων
Αυτές είναι συστατικές ασκήσεις για υδροστατικά συστήματα που περιγράφουν τη γενική κατάσταση συσσωμάτωσης ή αύξησης της ύλης, επιπλέον, αντιπροσωπεύει μια σχέση μεταξύ του όγκου, της θερμοκρασίας, της πυκνότητας, της πίεσης, των λειτουργιών κατάστασης και της εσωτερικής ενέργειας που σχετίζεται με την ύλη..
Εξισώσεις κίνησης
Είναι αυτή η μαθηματική δήλωση που εξηγεί τη χρονική ανάπτυξη μιας μεταβλητής ή ομάδας μεταβλητών που καθορίζουν τη φυσική κατάσταση του συστήματος, με άλλες φυσικές διαστάσεις που προάγουν την αλλαγή του συστήματος. Αυτή η εξίσωση εντός της δυναμικής του υλικού σημείου, καθορίζει τη μελλοντική θέση ενός αντικειμένου με βάση άλλες μεταβλητές, όπως η μάζα, η ταχύτητα ή οποιαδήποτε άλλη που μπορεί να επηρεάσει την κίνησή του.
Το πρώτο παράδειγμα μιας εξίσωσης κίνησης στη φυσική ήταν η χρήση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για φυσικά συστήματα αποτελούμενα από σωματίδια και σημειακά υλικά.
Συστατικές εξισώσεις
Δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια σχέση μεταξύ των μηχανικών ή θερμοδυναμικών μεταβλητών που υπάρχουν σε ένα φυσικό σύστημα, δηλαδή, όπου υπάρχει ένταση, πίεση, παραμόρφωση, όγκος, θερμοκρασία, εντροπία, πυκνότητα κ.λπ. Όλες οι ουσίες έχουν μια πολύ συγκεκριμένη μαθηματική σχέση, η οποία βασίζεται στην εσωτερική μοριακή οργάνωση.
Επίλυση εξισώσεων
Για την επίλυση των εξισώσεων, είναι απολύτως απαραίτητο να βρεθεί ο τομέας της λύσης τους, δηλαδή το σύνολο ή η ομάδα των τιμών των άγνωστων στις οποίες πληρούται η ισότητα τους. Η χρήση μιας αριθμομηχανής εξίσωσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί επειδή αυτά τα προβλήματα συνήθως εκφράζονται σε μία ή περισσότερες ασκήσεις.
Είναι επίσης σημαντικό να αναφερθεί ότι δεν έχουν όλες αυτές οι ασκήσεις λύση, καθώς είναι πολύ πιθανό ότι δεν υπάρχει καμία αξία στο άγνωστο που να επιβεβαιώνει την ισότητα που έχει επιτευχθεί. Σε αυτόν τον τύπο περίπτωσης, οι λύσεις των ασκήσεων είναι κενές και εκφράζεται ως μια άλυτη εξίσωση.
Παραδείγματα εξισώσεων
- Κίνηση: με ποια ταχύτητα πρέπει να ταξιδεύει ένα αγωνιστικό αυτοκίνητο για να ταξιδεύει 50km σε ένα τέταρτο της ώρας; Δεδομένου ότι η απόσταση εκφράζεται σε χιλιόμετρα, ο χρόνος πρέπει να γράφεται σε μονάδες ωρών για να έχει η ταχύτητα σε km / h. Έχοντας αυτό σαφές, τότε ο χρόνος που διαρκεί η κίνηση είναι:
Η απόσταση που διανύει το αυτοκίνητο είναι:
Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητά του πρέπει να είναι:
Ο τύπος είναι:
Επομένως, πρέπει να αφήσουμε το "n" και θα λάβουμε:
Στη συνέχεια τα δεδομένα αντικαθίστανται:
Και ο αριθμός των γραμμομορίων είναι 13,64 moles.
Τώρα πρέπει να υπολογιστεί η μάζα. Καθώς είναι αέριο υδρογόνο, πρέπει να γίνει αναφορά στο ατομικό του βάρος ή τη γραμμομοριακή μάζα, η οποία είναι ένα διατομικό μόριο, αποτελούμενο από δύο άτομα υδρογόνου.
Το μοριακό βάρος του είναι 2 g / mol (λόγω του διατομικού του χαρακτηριστικού), κατόπιν λαμβάνεται:
Δηλαδή, έχει επιτευχθεί μάζα 27,28 γραμμαρίων.
- Συστατικό: υπάρχουν 3 ράβδοι που συνδέονται με μια άκαμπτη δέσμη. Τα δεδομένα είναι: P = 15.000 lbf, a = 5ft, b = 5ft, c = 8ft (1ft = 12 ίντσες).
Η λύση είναι ότι θεωρείται ότι υπάρχουν μικρές παραμορφώσεις και ότι ο κοχλίας είναι εντελώς άκαμπτος, γι 'αυτό κατά την εφαρμογή της δύναμης P, η δέσμη ΑΒ θα περιστρέφεται άκαμπτα σύμφωνα με το σημείο Β.
