Ο συνδυασμός γραμμάτων, σημείων και αριθμών στις μαθηματικές πράξεις είναι γνωστός ως αλγεβρικές εκφράσεις. Συνήθως τα γράμματα αντιπροσωπεύουν άγνωστες ποσότητες και ονομάζονται μεταβλητές ή άγνωστες. Οι αλγεβρικές εκφράσεις επιτρέπουν μεταφράσεις στις μαθηματικές εκφράσεις της συνηθισμένης γλώσσας. Οι αλγεβρικές εκφράσεις προκύπτουν από την υποχρέωση μετάφρασης άγνωστων τιμών σε αριθμούς που αντιπροσωπεύονται με γράμματα. Ο κλάδος των μαθηματικών που είναι υπεύθυνοι για τη μελέτη αυτών των εκφράσεων στις οποίες εμφανίζονται αριθμοί και γράμματα, καθώς και σημάδια μαθηματικών πράξεων, είναι η Άλγεβρα.
Τι είναι οι αλγεβρικές εκφράσεις
Πίνακας περιεχομένων
Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, αυτές οι πράξεις δεν είναι τίποτα περισσότερο από το συνδυασμό γραμμάτων, αριθμών και σημείων που στη συνέχεια χρησιμοποιούνται σε διαφορετικές μαθηματικές πράξεις. Σε αλγεβρικές εκφράσεις, τα γράμματα έχουν τη συμπεριφορά των αριθμών και όταν ακολουθούν αυτήν την πορεία, χρησιμοποιούνται ένα έως δύο γράμματα.
Ανεξάρτητα από την έκφραση που έχετε, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να απλοποιήσετε, αυτό επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λειτουργιών, οι οποίες είναι ισοδύναμες με τις αριθμητικές ιδιότητες. Για να βρείτε την αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής λειτουργίας, πρέπει να αντικαταστήσετε έναν συγκεκριμένο αριθμό για το γράμμα.
Πολλές ασκήσεις μπορούν να γίνουν σε αυτές τις εκφράσεις και θα γίνουν σε αυτήν την ενότητα για να βελτιωθεί η κατανόηση του εν λόγω θέματος.
Παραδείγματα αλγεβρικών εκφράσεων:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Αλγεβρική γλώσσα
Η αλγεβρική γλώσσα είναι μια γλώσσα που χρησιμοποιεί σύμβολα και γράμματα για την αναπαράσταση αριθμών. Η κύρια λειτουργία του είναι να καθιερώσει και να δομήσει μια γλώσσα που βοηθά στη γενίκευση των διαφορετικών λειτουργιών που πραγματοποιούνται εντός της αριθμητικής όπου εμφανίζονται μόνο αριθμοί και οι στοιχειώδεις αριθμητικές πράξεις τους (+ -x%).
Η αλγεβρική γλώσσα στοχεύει στη δημιουργία και το σχεδιασμό μιας γλώσσας που βοηθά στη γενίκευση των διαφορετικών λειτουργιών που αναπτύσσονται εντός της αριθμητικής, όπου χρησιμοποιούνται μόνο αριθμοί και οι βασικές μαθηματικές πράξεις τους: προσθήκη (+), αφαίρεση (-), πολλαπλασιασμός (x) και διαίρεση (/).
Η αλγεβρική γλώσσα χαρακτηρίζεται από την ακρίβεια της, καθώς είναι πολύ πιο συγκεκριμένη από την αριθμητική γλώσσα. Μέσα από αυτό, οι προτάσεις μπορούν να εκφραστούν εν συντομία. Παράδειγμα: το σετ πολλαπλών 3 είναι (3, 6, 9, 12…) εκφράζεται 3n, όπου n = (1, 2, 3, 4…).
Σας επιτρέπει να εκφράσετε άγνωστους αριθμούς και να εκτελέσετε μαθηματικές πράξεις μαζί τους. Παράδειγμα, το άθροισμα των δύο αριθμών εκφράζεται ως εξής: a + b. Υποστηρίζει την έκφραση γενικών αριθμητικών ιδιοτήτων και σχέσεων.
Παράδειγμα: η μεταβλητή ιδιότητα εκφράζεται ως εξής: axb = bx a. Όταν γράφετε χρησιμοποιώντας αυτήν τη γλώσσα, μπορείτε να χειριστείτε άγνωστες ποσότητες με απλά σύμβολα για να γράψετε, επιτρέποντας την απλοποίηση των θεωρημάτων, τη διαμόρφωση εξισώσεων και ανισοτήτων και τη μελέτη του τρόπου επίλυσής τους.
Αλγεβρικά σημάδια και σύμβολα
Στην άλγεβρα, τόσο τα σύμβολα όσο και τα σημεία χρησιμοποιούνται στη θεωρία των συνόλων και αυτά αποτελούν ή αντιπροσωπεύουν εξισώσεις, σειρές, πίνακες κ.λπ. Τα γράμματα εκφράζονται ή ονομάζονται μεταβλητές, καθώς το ίδιο γράμμα χρησιμοποιείται σε άλλα προβλήματα και η τιμή του βρίσκει διαφορετικές μεταβλητές. Μεταξύ μερικών από τις ταξινομήσεις οι αλγεβρικές εκφράσεις είναι οι εξής:
Αλγεβρικά κλάσματα
Ένα αλγεβρικό κλάσμα είναι γνωστό ως ένα που αντιπροσωπεύεται από το πηλίκο δύο πολυωνύμων που παρουσιάζουν παρόμοια συμπεριφορά με τα αριθμητικά κλάσματα. Στα μαθηματικά, μπορείτε να λειτουργήσετε με αυτά τα κλάσματα κάνοντας πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Επομένως, πρέπει να εκφραστεί ότι το αλγεβρικό κλάσμα αντιπροσωπεύεται από το πηλίκο δύο αλγεβρικών εκφράσεων όπου ο αριθμητής είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής ο διαιρέτης.
Μεταξύ των ιδιοτήτων των αλγεβρικών κλασμάτων μπορεί να επισημανθεί ότι εάν ο παρονομαστής διαιρείται ή πολλαπλασιαστεί με την ίδια μη μηδενική ποσότητα, το κλάσμα δεν θα μεταβληθεί. Η απλοποίηση ενός αλγεβρικού κλάσματος συνίσταται στη μετατροπή του σε κλάσμα που δεν μπορεί πλέον να μειωθεί, καθώς είναι απαραίτητο να συντελεστούν τα πολυώνυμα που αποτελούν τον αριθμητή και τον παρονομαστή.
Η ταξινόμηση των αλγεβρικών εκφράσεων αντικατοπτρίζεται στους ακόλουθους τύπους: ισοδύναμες, απλές, σωστές, ακατάλληλες, αποτελούμενες από αριθμητή ή μηδενικό παρονομαστή. Τότε θα δούμε καθένα από αυτά.
Ισοδύναμα
Αυτή η πτυχή αντιμετωπίζεται όταν το διασταυρούμενο προϊόν είναι το ίδιο, δηλαδή όταν το αποτέλεσμα των κλασμάτων είναι το ίδιο. Για παράδειγμα, από αυτά τα δύο αλγεβρικά κλάσματα: 2/5 και 4/10 θα είναι ισοδύναμα εάν 2 * 10 = 5 * 4.
Απλός
Είναι εκείνα στα οποία ο αριθμητής και ο παρονομαστής αντιπροσωπεύουν ακέραιες λογικές εκφράσεις.
Το δικό
Είναι απλά κλάσματα στα οποία ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή.
Ακατάλληλος
Είναι απλά κλάσματα στα οποία ο αριθμητής είναι ίσος ή μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.
Σύνθετος
Σχηματίζονται από ένα ή περισσότερα κλάσματα που μπορούν να εντοπιστούν στον αριθμητή, στον παρονομαστή ή και στα δύο.
Null αριθμητής ή παρονομαστής
Εμφανίζεται όταν η τιμή είναι 0. Σε περίπτωση που το κλάσμα 0/0 θα είναι απροσδιόριστο. Κατά τη χρήση αλγεβρικών κλασμάτων για την εκτέλεση μαθηματικών πράξεων, ορισμένα χαρακτηριστικά των λειτουργιών με αριθμητικά κλάσματα πρέπει να ληφθούν υπόψη, για παράδειγμα, για να ξεκινήσετε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο πρέπει να βρεθεί όταν οι παρονομαστές έχουν διαφορετικά ψηφία.
Τόσο στη διαίρεση όσο και στον πολλαπλασιασμό, οι λειτουργίες εκτελούνται και πραγματοποιούνται όπως και με τα αριθμητικά κλάσματα, καθώς αυτές πρέπει προηγουμένως να απλοποιηθούν όποτε είναι δυνατόν.
Οικονομικά
Monomials χρησιμοποιούνται ευρέως αλγεβρικές εκφράσεις που έχουν μια σταθερά που ονομάζεται συντελεστής και ένα κυριολεκτικό μέρος, το οποίο αντιπροσωπεύεται με γράμματα και μπορεί να αυξηθεί σε διαφορετικές δυνάμεις. Για παράδειγμα, το μονομετρικό 2x² έχει 2 ως συντελεστή και x2 είναι το κυριολεκτικό μέρος.
Σε αρκετές περιπτώσεις, το κυριολεκτικό μέρος μπορεί να αποτελείται από πολλαπλασιασμό άγνωστων, για παράδειγμα στην περίπτωση 2xy. Κάθε ένα από αυτά τα γράμματα ονομάζεται απροσδιόριστο ή μεταβλητό. Το monomial είναι ένας τύπος πολυωνύμου με έναν μόνο όρο, επιπλέον, υπάρχει η πιθανότητα να βρίσκεστε μπροστά σε παρόμοια monomial.
Στοιχεία των monomials
Δεδομένου του μονομετρικού 5x ^ 3; Διακρίνονται τα ακόλουθα στοιχεία:
- Συντελεστής: 5
- Κυριολεκτικό μέρος: x ^ 3
Το προϊόν των monomials είναι ο συντελεστής, ο οποίος αναφέρεται στον αριθμό που εμφανίζεται πολλαπλασιάζοντας το κυριολεκτικό μέρος. Συνήθως τοποθετείται στην αρχή. Εάν το προϊόν των monomials έχει τιμή 1, δεν είναι γραμμένο και δεν μπορεί ποτέ να είναι μηδέν, καθώς ολόκληρη η έκφραση θα έχει τιμή μηδέν. Εάν υπάρχει ένα πράγμα που πρέπει να γνωρίζετε σχετικά με τις μονομερείς ασκήσεις, είναι ότι:
- Εάν ένα monomial δεν έχει συντελεστή, είναι ίσος με έναν.
- Εάν κάποιος όρος δεν έχει εκθετικό, είναι ίσος με έναν.
- Εάν δεν υπάρχει κάποιο κυριολεκτικό μέρος, αλλά απαιτείται, θεωρείται με εκθετικό μηδέν.
- Εάν κανένα από αυτά δεν συμπίπτει, τότε δεν ασχολείστε με τις ασκήσεις των μονομελών, θα μπορούσατε ακόμη και να πείτε ότι ο ίδιος κανόνας υπάρχει με τις ασκήσεις μεταξύ των πολυωνύμων και των μονόμυλων.
Προσθήκη και αφαίρεση των monomials
Για να εκτελέσετε αθροίσματα μεταξύ δύο γραμμικών μονόμυλων, είναι απαραίτητο να διατηρήσετε το γραμμικό μέρος και να προσθέσετε τους συντελεστές. Στις αφαιρέσεις δύο γραμμικών μονόμυλων, το γραμμικό μέρος πρέπει να διατηρείται, όπως στα αθροίσματα, προκειμένου να αφαιρεθούν οι συντελεστές, τότε οι συντελεστές πολλαπλασιάζονται και οι εκθέτες προστίθενται με τις ίδιες βάσεις.
Πολλαπλασιασμός των monomials
Είναι ένα monomial του οποίου ο συντελεστής είναι το προϊόν ή το αποτέλεσμα των συντελεστών, που έχουν ένα κυριολεκτικό μέρος που έχει ληφθεί μέσω του πολλαπλασιασμού των δυνάμεων που έχουν ακριβώς την ίδια βάση.
Διαίρεση των monomials
Δεν είναι τίποτα περισσότερο από ένα άλλο monomial του οποίου ο συντελεστής είναι το πηλίκο των συντελεστών που λαμβάνονται που, επιπλέον, έχουν ένα κυριολεκτικό μέρος που λαμβάνεται από τις διαιρέσεις μεταξύ των δυνάμεων που έχουν ακριβώς την ίδια βάση.
Πολυώνυμα
Όταν μιλάμε για πολυώνυμα, αναφερόμαστε σε μια αλγεβρική λειτουργία προσθήκης, αφαίρεσης και ταξινομημένου πολλαπλασιασμού από μεταβλητές, σταθερές και εκθέτες. Στην άλγεβρα, ένα πολυώνυμο μπορεί να έχει περισσότερες από μία μεταβλητές (x, y, z), σταθερές (ακέραιοι ή κλάσματα) και εκθέτες (που μπορούν να είναι μόνο θετικοί ακέραιοι).
Τα πολυώνυμα αποτελούνται από πεπερασμένους όρους, κάθε όρος είναι μια έκφραση που περιέχει ένα ή περισσότερα από τα τρία στοιχεία με τα οποία δημιουργούνται: μεταβλητές, σταθερές ή εκθέτες. Για παράδειγμα: 9, 9x, 9xy είναι όλοι οι όροι. Ένας άλλος τρόπος για τον προσδιορισμό των όρων είναι ότι διαχωρίζονται με προσθήκη και αφαίρεση.
Για να λύσετε, να απλοποιήσετε, να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε πολυώνυμα, πρέπει να συνδυάσετε τους όρους με τις ίδιες μεταβλητές όπως, για παράδειγμα, τους όρους με x, τους όρους με το "y" και τους όρους που δεν έχουν μεταβλητές. Επίσης, είναι σημαντικό να κοιτάξετε το σύμβολο πριν από τον όρο που θα καθορίσει εάν θα προσθέσετε, αφαιρέσετε ή θα πολλαπλασιάσετε. Οι όροι με τις ίδιες μεταβλητές ομαδοποιούνται, προστίθενται ή αφαιρούνται.
Τύποι πολυωνύμων
Ο αριθμός των όρων που έχει ένα πολυώνυμο θα δείξει τι είδους πολυώνυμο είναι, για παράδειγμα, εάν υπάρχει ένα πολυώνυμο ενός όρου, τότε αντιμετωπίζει ένα μονοωνικό. Ένα σαφές παράδειγμα αυτού είναι μία από τις ασκήσεις πολυώνυμων (8xy). Υπάρχει επίσης το διωνιακό πολυώνυμο, το οποίο ονομάζεται διωνυμικό και αναγνωρίζεται από το ακόλουθο παράδειγμα: 8xy - 2y.
Τέλος, το πολυώνυμο των τριών όρων, τα οποία είναι γνωστά ως trinomials και αναγνωρίζονται από μία από τις πολυωνυμικές ασκήσεις των 8xy - 2y + 4. Τα trinomials είναι ένας τύπος αλγεβρικής έκφρασης που σχηματίζεται από το άθροισμα ή τη διαφορά τριών όρων ή monomials (παρόμοια monomials).
Είναι επίσης σημαντικό να μιλήσουμε για τον βαθμό πολυωνύμου, διότι εάν είναι μια μεμονωμένη μεταβλητή, είναι ο μεγαλύτερος εκθέτης. Ο βαθμός ενός πολυωνύμου με περισσότερες από μία μεταβλητές καθορίζεται από τον όρο με τον μεγαλύτερο εκθέτη.
Προσθήκη και αφαίρεση πολυωνύμων
Η προσθήκη πολυωνύμων περιλαμβάνει συνδυασμό όρων. Παρόμοιοι όροι αναφέρονται σε monomials που έχουν την ίδια μεταβλητή ή μεταβλητές με την ίδια ισχύ.
Υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι εκτέλεσης πολυωνυμικών υπολογισμών, συμπεριλαμβανομένου του αθροίσματος των πολυωνύμων, οι οποίοι μπορούν να γίνουν με δύο διαφορετικούς τρόπους: οριζόντια και κάθετα.
- Προσθήκη πολυωνύμων οριζόντια: χρησιμοποιείται για οριζόντια εκτέλεση, αξίζει τον κόπο, αλλά πρώτα γράφεται ένα πολυώνυμο και μετά συνεχίζεται στην ίδια γραμμή. Μετά από αυτό, γράφεται το άλλο πολυώνυμο που πρόκειται να προστεθεί ή να αφαιρεθεί και τέλος, οι παρόμοιοι όροι ομαδοποιούνται.
- Κάθετο άθροισμα πολυωνύμων: επιτυγχάνεται γράφοντας το πρώτο πολυώνυμο με σειρά. Εάν αυτό είναι ελλιπές, είναι σημαντικό να αφήσετε ελεύθερα τα κενά των όρων που λείπουν. Στη συνέχεια, το επόμενο πολυώνυμο γράφεται ακριβώς κάτω από το προηγούμενο, με αυτόν τον τρόπο, ο όρος παρόμοιος με τον παραπάνω θα είναι παρακάτω. Τέλος προστίθεται κάθε στήλη.
Είναι σημαντικό να προσθέσετε ότι για να προσθέσετε δύο πολυώνυμα, πρέπει να προστεθούν οι συντελεστές των όρων του ίδιου βαθμού. Το αποτέλεσμα της προσθήκης δύο όρων του ίδιου βαθμού είναι ένας άλλος όρος του ίδιου βαθμού. Εάν λείπει κάποιος όρος από οποιονδήποτε από τους βαθμούς, μπορεί να συμπληρωθεί με 0. Και γενικά ταξινομούνται από τον υψηλότερο έως τον χαμηλότερο βαθμό.
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, για να εκτελέσετε το άθροισμα δύο πολυωνύμων, είναι απαραίτητο μόνο να προσθέσετε τους όρους του ίδιου βαθμού. Οι ιδιότητες αυτής της λειτουργίας αποτελούνται από:
- Συσχετιστικές ιδιότητες: στις οποίες το άθροισμα των δύο πολυωνύμων επιλύεται με την προσθήκη των συντελεστών που συνοδεύουν τα x που ανεβαίνουν στην ίδια ισχύ.
- Μεταβλητή ιδιότητα: η οποία αλλάζει τη σειρά της προσθήκης και το αποτέλεσμα δεν μπορεί να συναχθεί. Τα ουδέτερα στοιχεία, τα οποία όλα έχουν τους συντελεστές τους ίσο με 0. Όταν ένα πολυώνυμο προστίθεται στο ουδέτερο στοιχείο, το αποτέλεσμα είναι ίσο με το πρώτο.
- Απέναντι ιδιότητα: σχηματίζεται από το πολυώνυμο που έχει όλους τους αντίστροφους συντελεστές των συνολικών πολυωνυμικών συντελεστών. Έτσι, κατά την εκτέλεση της λειτουργίας προσθήκης, το αποτέλεσμα είναι το μηδενικό πολυώνυμο.
Όσον αφορά την αφαίρεση των πολυωνύμων, (λειτουργίες με πολυώνυμα) είναι επιτακτική η ομαδοποίηση των μονόμωνων σύμφωνα με τα χαρακτηριστικά που διαθέτουν και ξεκινάμε με την απλοποίηση εκείνων που ήταν παρόμοια. Οι λειτουργίες με πολυώνυμα διεξάγονται προσθέτοντας το αντίθετο του δευτερεύοντος κάτω στο minuend.
Ένας άλλος αποτελεσματικός τρόπος για να προχωρήσετε στην αφαίρεση πολυωνύμων είναι να γράψετε το αντίθετο κάθε πολυώνυμου κάτω από το άλλο. Έτσι, παρόμοια monomials παραμένουν σε στήλες και προχωράμε να τα προσθέσουμε. Δεν έχει σημασία ποια τεχνική πραγματοποιείται, στο τέλος, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα το ίδιο, φυσικά, αν γίνει σωστά.
Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων
Πολλαπλασιασμός μονόμυλων ή ασκήσεων μεταξύ πολυωνύμων και μονόμυλων, είναι μια λειτουργία που πραγματοποιείται για την εύρεση του προϊόντος που προκύπτει, μεταξύ μιας μονογραμμικής (αλγεβρική έκφραση που βασίζεται στον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού και ενός γράμματος που αυξάνεται σε θετικό ακέραιο εκθέτη) και ενός άλλου έκφραση, εάν πρόκειται για έναν ανεξάρτητο όρο, έναν άλλο monomial, ή ακόμα και ένα πολυώνυμο (πεπερασμένο άθροισμα monomials και ανεξάρτητους όρους).
Ωστόσο, όπως και με σχεδόν όλες τις μαθηματικές λειτουργίες, ο πολλαπλασιασμός των πολυωνύμων έχει επίσης μια σειρά από βήματα που πρέπει να ακολουθηθούν κατά την επίλυση της προτεινόμενης λειτουργίας, τα οποία μπορούν να συνοψιστούν στις ακόλουθες διαδικασίες:
Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να πολλαπλασιάσετε το monomial με την έκφρασή του (πολλαπλασιάστε τα σημάδια καθενός από τους όρους του). Μετά από αυτό, οι τιμές του συντελεστή πολλαπλασιάζονται και όταν βρεθεί η τιμή σε αυτήν τη λειτουργία, προστίθεται η κυριολεκτική αξία των monomial που βρίσκονται στους όρους. Στη συνέχεια, κάθε αποτέλεσμα σημειώνεται με αλφαβητική σειρά και, τέλος, προστίθεται κάθε εκθέτης, οι οποίοι βρίσκονται στις βασικές γραμματοσειρές.
Πολυωνυμική διαίρεση
Επίσης γνωστό ως μέθοδος Ruffini. Μας επιτρέπει να διαιρέσουμε ένα πολυώνυμο με ένα διωνυμικό και επίσης μας επιτρέπει να εντοπίσουμε τις ρίζες ενός πολυωνύμου για να το παραγάγουμε σε διωνύμια. Με άλλα λόγια, αυτή η τεχνική καθιστά δυνατή τη διαίρεση ή την αποσύνθεση ενός αλγεβρικού πολυωνύμου βαθμού n, σε ένα αλγεβρικό διωνυμικό, και στη συνέχεια σε ένα άλλο αλγεβρικό πολυώνυμο του βαθμού n-1. Και για να είναι εφικτό αυτό, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ή να γνωρίζουμε τουλάχιστον μία από τις ρίζες του μοναδικού πολυωνύμου, προκειμένου ο διαχωρισμός να είναι ακριβής.
Είναι μια αποτελεσματική τεχνική για να διαιρέσετε ένα πολυώνυμο με ένα διωνυμικό της μορφής x - r. Ο κανόνας του Ruffini είναι μια ειδική περίπτωση συνθετικής διαίρεσης όταν ο διαιρέτης είναι γραμμικός παράγοντας. Η μέθοδος του Ruffini περιγράφηκε από τον Ιταλό μαθηματικό, καθηγητή και ιατρό Paolo Ruffini το 1804, ο οποίος εκτός από την εφεύρεση της περίφημης μεθόδου που ονομάζεται κανόνας του Ruffini, ο οποίος βοηθά στην εύρεση των συντελεστών του αποτελέσματος του κατακερματισμού ενός πολυωνύμου από το διωνυμικός; Ανακάλυψε επίσης και διατύπωσε αυτήν την τεχνική στον κατά προσέγγιση υπολογισμό των ριζών των εξισώσεων.
Όπως πάντα, όταν πρόκειται για μια αλγεβρική λειτουργία, ο Κανόνας του Ruffini περιλαμβάνει μια σειρά βημάτων που πρέπει να εκτελεστούν για να φτάσετε στο επιθυμητό αποτέλεσμα, σε αυτήν την περίπτωση: βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο εγγενές στην διαίρεση οποιουδήποτε τύπου πολυωνύμου και διωνυμικό σχήμα x + r.
Πρώτα απ 'όλα, κατά την έναρξη της λειτουργίας, οι εκφράσεις πρέπει να επανεξεταστούν για να επαληθευτεί ή να προσδιοριστεί εάν αντιμετωπίζονται πραγματικά ως πολυώνυμα και διωνύμια που ανταποκρίνονται στην αναμενόμενη μορφή με τη μέθοδο Ruffini Rule.
Μόλις επαληθευτούν αυτά τα βήματα, το πολυώνυμο ταξινομείται (σε φθίνουσα σειρά). Μετά από αυτό το βήμα, λαμβάνονται υπόψη μόνο οι συντελεστές των όρων του πολυωνύμου (μέχρι τον ανεξάρτητο), τοποθετώντας τους σε μια σειρά από αριστερά προς τα δεξιά. Μερικά κενά αφήνονται για τους όρους που απαιτούνται (μόνο σε περίπτωση ελλιπούς πολυωνύμου). Το σύμβολο μαγειρικής τοποθετείται στα αριστερά της σειράς, το οποίο αποτελείται από συντελεστές του πολυωνύμου μερίσματος.
Στο αριστερό μέρος της γκαλερί, προχωράμε να τοποθετήσουμε τον ανεξάρτητο όρο του διωνύμου, ο οποίος, τώρα, είναι διαιρέτης και το πρόγραμμά του είναι αντίστροφο. Το ανεξάρτητο πολλαπλασιάζεται με τον πρώτο συντελεστή του πολυωνύμου, καταγράφοντας έτσι σε μια δεύτερη σειρά κάτω από την πρώτη. Στη συνέχεια, ο δεύτερος συντελεστής και το προϊόν του ανεξάρτητου μονομερούς όρου αφαιρούνται από τον πρώτο συντελεστή.
Ο ανεξάρτητος όρος του διωνύμου πολλαπλασιάζεται με το αποτέλεσμα της προηγούμενης αφαίρεσης. Αλλά επιπλέον, τοποθετείται στη δεύτερη σειρά, η οποία αντιστοιχεί στον τέταρτο συντελεστή. Η λειτουργία επαναλαμβάνεται έως ότου επιτευχθούν όλοι οι όροι. Η τρίτη σειρά που έχει ληφθεί με βάση αυτούς τους πολλαπλασιασμούς λαμβάνεται ως πηλίκο, με εξαίρεση τον τελευταίο όρο του, ο οποίος θα θεωρείται ως το υπόλοιπο της διαίρεσης.
Το αποτέλεσμα εκφράζεται, συνοδεύοντας κάθε συντελεστή της μεταβλητής και το βαθμό που αντιστοιχεί σε αυτήν, αρχίζοντας να τα εκφράζει με χαμηλότερο βαθμό από αυτόν που είχαν αρχικά.
- Υπόλοιπο θεώρημα: είναι μια πρακτική μέθοδος που χρησιμοποιείται για να διαιρέσει ένα πολυώνυμο P (x) από ένα άλλο του οποίου η μορφή είναι xa. στην οποία λαμβάνεται μόνο η τιμή του υπολοίπου. Για να εφαρμόσετε αυτόν τον κανόνα, ακολουθούν τα ακόλουθα βήματα. Το πολυώνυμο μέρισμα γράφεται χωρίς συμπλήρωση ή παραγγελία, τότε η μεταβλητή x του μερίσματος αντικαθίσταται με την αντίθετη τιμή του ανεξάρτητου όρου του διαιρέτη. Και τέλος, οι λειτουργίες επιλύονται σε συνδυασμό.
Το υπόλοιπο θεώρημα είναι μια μέθοδος με την οποία μπορούμε να αποκτήσουμε το υπόλοιπο μιας αλγεβρικής διαίρεσης αλλά στην οποία δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε καμία διαίρεση.
- Μέθοδος του Ruffini: Η μέθοδος ή ο κανόνας του Ruffini είναι μια μέθοδος που μας επιτρέπει να διαιρέσουμε ένα πολυώνυμο με ένα διωνυμικό και επίσης μας επιτρέπει να εντοπίσουμε τις ρίζες ενός πολυωνύμου για να συντελέσουμε σε διωνύμια. Με άλλα λόγια, αυτή η τεχνική καθιστά δυνατή τη διαίρεση ή την αποσύνθεση ενός αλγεβρικού πολυωνύμου βαθμού n, σε ένα αλγεβρικό διωνυμικό και στη συνέχεια σε ένα άλλο αλγεβρικό πολυώνυμο του βαθμού n-1. Και για να είναι αυτό δυνατό, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ή να γνωρίζουμε τουλάχιστον μία από τις ρίζες του μοναδικού πολυωνύμου, προκειμένου να είναι ακριβής ο διαχωρισμός.
- Πολυωνυμικές ρίζες: οι ρίζες ενός πολυωνύμου είναι ορισμένοι αριθμοί που κάνουν ένα πολυώνυμο αξίας μηδέν. Μπορούμε επίσης να πούμε ότι οι πλήρεις ρίζες ενός πολυωνύμου ακέραιων συντελεστών θα είναι διαιρέτες του ανεξάρτητου όρου. Όταν επιλύουμε ένα πολυώνυμο ίσο με το μηδέν, λαμβάνουμε τις ρίζες του πολυωνύμου ως λύσεις. Ως ιδιότητες των ριζών και των παραγόντων των πολυωνύμων μπορούμε να πούμε ότι τα μηδενικά ή οι ρίζες ενός πολυωνύμου είναι από τους διαχωριστές του ανεξάρτητου όρου που ανήκει στο πολυώνυμο.
Αυτό μας επιτρέπει να ανακαλύψουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου p (x) με ένα άλλο από τη μορφή xa, για παράδειγμα. Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ότι ένα πολυώνυμο p (x) διαιρείται από το xa μόνο εάν το a είναι μια ρίζα του πολυωνύμου, μόνο εάν και μόνο εάν p (a) = 0. Εάν το C (x) είναι το πηλίκο και το R (x) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης οποιουδήποτε πολυωνύμου p (x) από ένα διωνυμικό που θα ήταν (xa) η αριθμητική τιμή του p (x), για x = a, είναι ίσο με το υπόλοιπο της διαίρεσής του με xa.
Τότε θα πούμε ότι: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). Σε γενικές γραμμές, για να αποκτήσετε το υπόλοιπο μιας διαίρεσης από το Xa, είναι πιο βολικό να εφαρμόσετε τον κανόνα του Ruffini παρά να αντικαταστήσετε το x. Επομένως, το υπόλοιπο θεώρημα είναι η καταλληλότερη μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων.
Στον μαθηματικό κόσμο, ο κανόνας του Ruffini είναι μια αποτελεσματική τεχνική για τη διαίρεση ενός πολυωνύμου με ένα διωνυμικό της μορφής x - r. Ο κανόνας του Ruffini είναι μια ειδική περίπτωση συνθετικής διαίρεσης όταν ο διαιρέτης είναι γραμμικός παράγοντας.
Η μέθοδος του Ruffini περιγράφηκε από τον Ιταλό μαθηματικό, καθηγητή και ιατρό Paolo Ruffini το 1804, ο οποίος εκτός από την εφεύρεση της περίφημης μεθόδου που ονομάζεται κανόνας του Ruffini, ο οποίος βοηθά στην εύρεση των συντελεστών του αποτελέσματος του κατακερματισμού ενός πολυωνύμου από το διωνυμικός; Ανακάλυψε επίσης και διατύπωσε αυτήν την τεχνική στον κατά προσέγγιση υπολογισμό των ριζών των εξισώσεων.
Στη συνέχεια, για κάθε ρίζα, για παράδειγμα, του τύπου x = αντιστοιχεί σε ένα διωνυμικό του τύπου (xa). Είναι δυνατόν να εκφράσουμε ένα πολυώνυμο σε παράγοντες εάν το εκφράσουμε ως προϊόν ή όλων των διωνύμων του τύπου (xa) που αντιστοιχούν στις ρίζες, x = a, το αποτέλεσμα. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το άθροισμα των εκθετών των διωνύμων είναι ίσο με τον βαθμό του πολυωνύμου, θα πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο που δεν έχει ανεξάρτητο όρο θα παραδεχτεί ως ρίζα x = 0, με άλλο τρόπο, θα παραδεχτεί ως X Factor.
Θα ονομάσουμε ένα πολυώνυμο "prime" ή "Irreducible" όταν δεν υπάρχει πιθανότητα να το παραχωρήσουμε σε παράγοντες.
Για να ερευνήσουμε το θέμα πρέπει να είμαστε σαφείς για το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, το οποίο δηλώνει ότι αρκεί ένα πολυώνυμο σε μια μη σταθερή μεταβλητή και σύνθετους συντελεστές να έχει τόσες ρίζες με τον βαθμό του, καθώς οι ρίζες έχουν τις πολλαπλότητές τους. Αυτό επιβεβαιώνει ότι οποιαδήποτε αλγεβρική εξίσωση του βαθμού n έχει n σύνθετες λύσεις. Ένα πολυώνυμο βαθμού n έχει μέγιστο n πραγματικές ρίζες.
Παραδείγματα και ασκήσεις
Σε αυτήν την ενότητα θα τοποθετήσουμε μερικές αλγεβρικές εκφράσεις λύσεις ασκήσεων για κάθε ένα από τα θέματα που καλύπτονται σε αυτήν την ανάρτηση.
Ασκήσεις αλγεβρικών εκφράσεων:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Άθροισμα πολυωνύμων
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Αφαίρεση πολυωνύμων
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Πολυωνυμική διαίρεση
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 και
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.γ. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Αλγεβρικές εκφράσεις (διωνυμικό τετράγωνο)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
Υπόλοιπο θεώρημα
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Πολλαπλασιασμός των monomials
axnbxm = (ab) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Διαίρεση των monomials
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 και
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
-6 v2. ντο. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Προσθήκη και αφαίρεση των monomials
Άσκηση: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Λύση: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
