Ένας αριθμός που μπορεί να είναι λογικός και παράλογος ονομάζεται πραγματικός, επομένως αυτό το σύνολο αριθμών είναι η ένωση του συνόλου των λογικών αριθμών (κλάσματα) και του συνόλου των παράλογων αριθμών (δεν μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα). Οι πραγματικοί αριθμοί καλύπτουν την πραγματική γραμμή και οποιοδήποτε σημείο αυτής της γραμμής είναι ένας πραγματικός αριθμός και χαρακτηρίζονται από το σύμβολο R.
Χαρακτηριστικά πραγματικών αριθμών:
- Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι το σύνολο όλων των αριθμών που αντιστοιχούν στα σημεία της γραμμής.
- Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι το σύνολο όλων των αριθμών που μπορούν να εκφραστούν με περιοδικά ή μη περιοδικά άπειρα ή πεπερασμένα δεκαδικά.
Οι παράλογοι αριθμοί διακρίνονται από τους λογικούς αριθμούς έχοντας άπειρα δεκαδικά ψηφία που δεν επαναλαμβάνονται ποτέ, δηλαδή δεν είναι περιοδικά. Επομένως, δεν μπορούν να εκτεθούν ως κλάσμα δύο ακέραιων αριθμών. Ορισμένοι παράλογοι αριθμοί διακρίνονται από άλλους αριθμούς με σύμβολα. Για παράδειγμα: ℮ = 2.7182, π = 3.1415926535914039.
Στην πραγματική γραμμή συμβολίζονται οι πραγματικοί αριθμοί, κάθε σημείο της γραμμής έχει έναν πραγματικό αριθμό και κάθε πραγματικός αριθμός έχει ένα σημείο στη γραμμή, κατά συνέπεια δεν είναι δυνατόν να μιλήσουμε για το επόμενο σε πραγματικό αριθμό όπως στην περίπτωση του φυσικοί αριθμοί. Οι λογικοί αριθμοί τοποθετούνται στη γραμμή αριθμών με τέτοιο τρόπο ώστε σε κάθε ενότητα, ανεξάρτητα από το πόσο μικρό, υπάρχουν άπειρα. Ωστόσο, και παραδόξως, υπάρχουν άπειρα κενά που γεμίζουν με παράλογους αριθμούς. Επομένως, μεταξύ των δύο πραγματικών αριθμών, τα Χ και Υ υπάρχουν ορθολογικά άπειρα και παράλογα άπειρα, μεταξύ των οποίων γεμίζουν τη γραμμή.
Λειτουργίες με πραγματικούς αριθμούς:
Ο τρόπος με τον οποίο πραγματοποιείτε τις λειτουργίες με πραγματικούς αριθμούς εξαρτάται από τον τρόπο που αντιπροσωπεύονται οι αριθμοί. Εάν όλοι οι τελεστές είναι λογικοί αριθμοί, οι εργασίες εκτελούνται χρησιμοποιώντας κλάσματα. Εάν πρέπει να λειτουργήσετε με παράλογους, ο μόνος τρόπος για να χειριστείτε τις ακριβείς τιμές είναι να τις αφήσετε ως έχουν. Εάν είναι απαραίτητο να λειτουργήσει αριθμητικά, θα είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν οι δεκαδικές αναπαραστάσεις τους και επειδή είναι άπειρα δεκαδικά, το αποτέλεσμα μπορεί να δοθεί μόνο με στενό τρόπο.
Προσέγγιση από προεπιλογή ή υπερβολικά:
Η προσέγγιση των παράλογων αριθμών στην δεκαδική αναπαράστασή τους μπορεί να είναι:
- Από προεπιλογή: εάν η τιμή που πρέπει να προσεγγιστεί είναι μικρότερη από τον αριθμό.
- Υπερβολικά: εάν η τιμή που πρέπει να προσεγγιστεί είναι μεγαλύτερη
Για παράδειγμα, για τον αριθμό π, οι προεπιλεγμένες προσεγγίσεις είναι 3 <3,1 <3,14 <3,141 και κατά περίσσεια 3,1416 <3,142 <3,15 <3,2. Κατά προσέγγιση στρογγυλοποίηση ή περικοπή:
Σημαντικά στοιχεία είναι όλα εκείνα που χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν έναν κατά προσέγγιση αριθμό, υπάρχουν δύο τρόποι προσέγγισης των αριθμών:
Με στρογγυλοποίηση: εάν ο πρώτος μη σημαντικός αριθμός είναι 0,1,2,3,4 ο προηγούμενος παραμένει ο ίδιος, αντί εάν είναι 5,6,7,8,9 ο προηγούμενος αριθμός αυξάνεται κατά μία μονάδα, για παράδειγμα: 3, 74281≈ 3.74 και 4.29612 ≈ 4.30.
Περικοπή περικοπής: οι μη σημαντικές τιμές εξαλείφονται, για παράδειγμα: 3.74281283.74 και 4.29612 ≈ 4.29.
Επιστημονική σημειογραφία:
Όταν θέλετε να εκφράσετε πολύ μεγάλους ή πολύ μικρούς πραγματικούς αριθμούς, χρησιμοποιείται η επιστημονική σημειογραφία:
- Το ακέραιο μέρος αποτελείται από ένα μόνο ψηφίο, το οποίο δεν μπορεί να είναι 0.
- Όλες οι άλλες σημαντικές μορφές γράφονται ως δεκαδικό μέρος.
- Μια δύναμη της βάσης δέκα που δίνει τη σειρά του μεγέθους του αριθμού.
Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι στην επιστημονική σημειογραφία εάν ο εκθέτης είναι θετικός ο αριθμός είναι μεγάλος και εάν είναι αρνητικός ο αριθμός είναι μικρός, για παράδειγμα: 6,25 x 1011 = 625,000,000,000.
